师： 好，上课！
生： 老师好！
师： 同学们好，请坐。上节课呢，我们研究了当磁场跟导体棒发生相对运动的时候，就会产生感应电动势。对不对？
生： 对。
师： 今天我们来研究一个新的问题：如果把线圈跟磁场发生相对转动，能不能也产生电呢？你们想一想，这样是不是就可以造出一个小型的发电机了？
师： 来，看一看。线圈现在已经绕好了，这里还缺个什么？……对，磁铁。好，那我换一个磁铁放进去。哇，你们观察到什么现象？
生： 灯泡亮了！
师： 灯泡亮了，说明有电流。那有电流的话，说明我们更关心的是什么？
生： 电动势！
师： 对，有电动势，这个就叫做感应电动势。那怎么样去计算在这种转动情况下的感应电动势大小呢？今天我们一起进入“法拉第电磁感应定律”的第3课时，来研究这种感应模式又该怎么计算。
师： 不过，刚刚那个磁铁在里面的磁场，你们知道是什么样的吗？
生： 知道。
师： 知道，但研究起来是不是比较复杂？现在我们用一个最简单、最熟悉的情况来分析：磁场不动，导体在里面运动。这样我们就可以把磁场简化为一个什么样的磁场？
生： 匀强磁场。
师： 对，匀强磁场。然后我们的线框在这个匀强磁场里转动。今天我们就来研究这样一个情况。
师： 大家请看大屏幕上的情景。这是一个n匝的线圈，绕着OO′轴匀速转动，这就是一个典型的线框旋转模型。我们来一起审题。一个n匝线圈，绕OO′轴匀速转动，角速度为ω。已知线框两个边的边长分别为L₂和L₁。我们要计算经过t时刻，感应电动势的大小。
师： 要研究t时刻的电动势，实际上就是求那个时刻的瞬时值。我们首先要思考，这属于哪种类型的电动势？用法拉第电磁感应定律，公式是什么？一起复习一下。
生： E = n ΔΦ / Δt。
师： 对，可以用这个算。另外，我们之前还研究过一个很典型的情况：当导体棒在磁场中运动时，磁场不动，这属于什么电动势？
生： 动生电动势！
师： 它的公式是什么？
生： E = BLv sinθ，如果有n匝，就再乘以n。
师： 很好。那你觉得对于今天这个旋转的线框，我们从哪个角度出发可能更好分析？
生： 动生电动势。
师： 对，动生。既然是动生，我们就要搞清楚到底是哪条边在切割磁感线。大家观察一下，这个线框里，是L₁在切割，还是L₂在切割？
师： 你看，磁感线是水平穿过的。切割磁感线，就好比我们用一把刀去割草。草是这么长的（手势：竖直），你的刀也得竖着才能割断它。如果草是竖着长的，你的刀也竖着，那能割断吗？割不断。所以，真正在切割的边是哪一条？
生： L₂。
师： 对，只有L₂在切割。并且有几根？
生： 两根。
师： 好，这一根和这一根。我们先看其中一根。对于这一根边，用动生电动势公式，E₁等于？
生： BL₂v。
师： v又等于多少？在这个旋转中，它的线速度v是多少？
生： ω乘以它到转轴的距离。
师： 这个点到转轴的距离是多少？
生： L₁。
师： 对，v = ωL₁。那这根杆上每个点的切割速度一样吗？
生： 一样。
师： 所以E₁ = B L₂ ω L₁。现在，我们有两根这样的边在切割，而且它们是串联的。如果线圈是n匝，那总电动势E就等于？
生： n倍的2倍的E₁？
师： 对，E = n · 2 · (B L₂ ω L₁) = n B (2 L₁ L₂) ω。大家看，2 L₁ L₂是什么？
生： 是线框的面积！
师： 对，我们把它记作S。所以E = n B S ω。这个表达式简单吧？但它成立吗？我们推导的时候，有没有一个隐含的条件？
师： 请大家再看一下，在这个初始位置，速度v的方向和磁场B的方向垂直吗？
生： （观察后）垂直。
师： 对，在这个特殊时刻，它们是垂直的，所以我们直接用BLv，得到了E = n B S ω。
师： 但是，题目要求的是经过时间t之后的电动势。那个时候，B和v还垂直吗？
生： 不垂直了。
师： 那怎么办？经过时间t，线框相对初始位置转动了一个角度，这个角度θ是多少？
生： θ = ωt。
师： 对。此时，速度方向是怎样的？我们要研究切割的，还是L₂这一根边。既然速度方向跟磁场方向不垂直了，我们就要把速度分解。请告诉老师，这个时候速度方向是朝哪里的？
生： 垂直于L₁的方向。
师： 很好。那在立体图里好不好分析？
生： 不好分析。
师： 怎么办？我们画平面图。从哪个角度去看比较清楚？
生： 俯视图！
师： 好，一起来画俯视图。这是初始位置，线框平面与磁感线是平行的。转过θ角后，这是新的位置。这个角就是θ。现在速度方向看得更清楚了吧？它跟L₁是垂直的。现在我们要分解速度，怎么分解？
生： 分解成平行于B和垂直于B的方向。
师： 对，我们需要的切割速度是垂直于B的那一分量。大家看，这个角是θ，那么这个角（速度与垂直于B方向的夹角）是多少？
生： 也是θ。
师： 所以垂直于B的速度分量v⊥ = v cosθ = ωL₁ cosθ。那么，这一根边产生的电动势就是B L₂ ωL₁ cosθ。我们有两根边，还有n匝线圈，所以总电动势E = n · 2 · B L₂ ωL₁ cosθ = n B (2L₁L₂) ω cosθ = n B S ω cos(ωt)。
师： 经过t时间后，我们就得到了这个表达式。你们觉得这个式子熟悉吗？
生： 熟悉！
师： 在哪里见过？
生： 交流电！
师： 对，这是一个随时间按余弦规律变化的电动势。如果你画出E-t图像，会是一个什么图像？
生： 余弦图像。
师： 没错，这就是交流电。我们平时用的电，其实就是这样的。所以我们刚才看到的小灯泡发光，就是一个小型发电机。只不过今天我们研究的是线框在转，而实际发电厂里，很多时候是线框不动，磁铁在转动，就像我们上课开始时演示的那样。具体怎么求，大家可以课后自己分析一下。
师： 好，问题来了。刚才我们是绕OO′轴转动，如果转轴变了呢？比如，线框绕中间某一根轴，比如MN轴转动，结果还一样吗？我们分析一下。
师： 同样的匀强磁场，同样的线框。现在转轴变了，它到两个切割边L₂的距离，我们分别记为L₃和L₄。请大家按照刚才的思路，写一下电动势的表达式。