师：同学们准备好和老师开启今天的学习之旅了吗？
生：准备好了！
师：好，上课！起立！
生：老师好！
师：同学们好，请坐！
师：同学们，咱们用这四支铅笔表示刚才的几位同学啊？
生：四位同学。
师：那三个笔筒表示刚才的三个凳子？
生：三个凳子。
师：那根据游戏，我们能初步得到这样一个结论：把4支铅笔放进三个笔筒里，总有一个笔筒至少有两支铅笔。那在这里，"总有"你觉得是什么意思？"总有"？哎，你说。
生：我觉得"总有"应该是必须的意思。
师：啊，必须的意思。好，坐。你说。
生：我觉得"总有"是肯定的意思。
师：肯定有，坐。你还想说？
生：嗯，我觉得这个"总有"应该是在每个笔筒里放一支笔的话，一定会有一个笔筒里至少有两支铅笔。
师：啊，一定有，肯定有。好，非常好，请坐。那"至少"在这里又是什么意思？你说。
生：哦，我觉得"至少"的话，这个笔筒里至少也得有两支铅笔，不可能再少于两支了。
师：哦，也就是最起码有两支，很好，坐。还有想说的吗？哎，你说。
生：我觉得是起码笔筒里得有两只及以上的铅笔。
师：哦，起码有两只以上。也就是说，最少得有--最少有几只啊？
生：两只。
师：那三只可以吗？
生：可以。
师：四只呢？
生：可以。
师：一只呢？
生：不可以。
师：啊，一只不可以。所以最少得有两只铅笔。那这个结论又可以怎样表述呢？来，谁来试一试？好，这位男生。
生：把4支铅笔放到3个笔筒里，一个笔筒一定有至少两支铅笔。
师：大家同意他的说法吗？哎，请坐。哎，你还想说？
生：嗯，把4支铅笔放进3个笔筒里，一定要有一个笔筒至少有两支铅笔。
师：哎，最多有4支铅笔，至少有两支铅笔。好，坐。那这个结论正确吗？
生：一定正确吗？
师：大家都不敢确定，是吧？那不敢确定，咱们就需要来验证。那谁来读一下验证要求？来，交给女生。
生：摆一摆：把4支铅笔放进3个笔筒，要求将笔全部放进去，允许某个笔筒空着。画一画：借助画图或数的分解的方法，把各种情况都表示出来。看一看：一共有几种摆法。找一找：每种摆法中最多的一个笔筒放了几支，用笔圈画出来。
师：读得非常流畅，请坐。那下面给大家4分钟的时间，好，开始你的探索。
（生小组合作探究，师巡视指导）
师：同学们通过巡视，老师发现了这4种有代表性的作品。咱们一起来看一看。大家看1号，他是用了画图的方法，对吧？他画了4支铅笔，依次去分，对吧？对。2号用的--那3号呢？纯数字来表达，对吧？那4号呢？
生：画图。
师：画图。那你觉得这4种方法，哪一种更简洁直观，能快速看出来？
生：第3种。
师：哎，第3种。那咱给第3种一个金牌奖励，加！那其他的也不错，来给他一个银牌奖励。这一个它没有标出--哎，7没懂？摆法中最多的一个笔筒放了几只，没有圈出来。来给他一个--
师：好，那接下来有请获得金牌的小组上来给大家汇报一下。来，金牌的小组，来一个人，拿着你们的态度单。一个人负责在这里摆一摆，直接拖拽铅笔就可以；一个人负责记录。
生：好，第一种我们说是把四支铅笔全都放在一个笔筒里。用数字表示的话，也就是这个是4，这一个笔筒是4只，然后上面两个都空着，所以我们用0来代替，这一个就用数字4来代替。
生：第二种我们尝试的话，就说是把这第一桶里面的4只拿出来一只放在第二个笔筒里，也就是这一个笔筒里着了三只，这一个着了一只，这一个你就可以用0代替，就是3、1、0。
生：然后这一支的话，我们是把两支铅笔又放在第三个桶里，就是这是2支，这个是1支，就是一，然后分成了2、1、1。
生：然后我们再是，这是把两支铅笔都放在两个笔筒里，可以得出2、2、0。
师：嗯，如果是把你们的摆法和它的记录方法对应起来，你这里这两个笔筒应该怎么放？好，那解决第三个问题：圈出每种摆法中铅笔数最多的一个笔筒。好，这里有两个吧？来，给大家。
生：那第一种摆法，4和2比，4大，4大于2。
师：好。
生：第二种摆法中，3大于2，所以笔筒里至少有两支铅笔。
生：然后这一个的话，也是2=2，所以至少有两支铅笔。
生：这一个也是等于2，笔筒里至少有两支铅笔。这个结论是肯定的，是正确的。
师：好，大家问问，大家还有什么疑问吗？
生：呃，大家还有什么疑问吗？
生：没有啦！
师：那大家觉得他们这种方法怎么样？
生：啊，简洁明了！
师：是不是由多到少？也就说很条理，很清晰。咱们把掌声送给他们！
（生鼓掌）
师：那同学们，咱们一块来梳理刚才的4种摆法。那你认为"总有一个笔筒"是指的哪一个笔筒？
生：每种摆法中铅笔数量最多的那个笔筒。
师：哎，铅笔数最多的这个笔筒。那我们发现，第一种摆法中，4大于2；第二种摆法中，3大于2；第三种摆法中，2等于2；第四种摆法中，2等于2。那通过对比，我们能得出"总有一个笔筒至少有两支铅笔"这个结论是正确的。
生：正确的。
师：那你能给这种方法起个名字吗？像这种一一列举的方法，我们在数学上叫做--
生：列举法，也叫枚举法。
师：那这种方法虽然简单直观，但是它怎么样？
生：太麻烦了。
师：那你能不能想到只摆一种情况，也能得到这个结论的方法呢？动手试一试。
（生动手操作）
师：哎，哪个小组愿意来汇报你们的摆法？来，这位男生，我们小组的摆法来，请上来。
生：我们小组是将两支铅笔放到一个笔筒里。先将一支笔放到一个笔筒里，这样三个笔筒就各有一支笔，然后再将剩余的这支笔放到第一个笔筒里。这样的话，得到的结论是：总有一个笔筒里至少有两支铅笔。
师：总有一个笔筒里至少有两支铅笔。那你这种方法你用什么方法感觉？
生：嗯，我是先将这4支铅笔平均分散到这三个笔筒里面。
师：哎，他提到了一个"平均分"。那大家有什么疑问吗？来，男生。
生：我想问一下，前面为什么要用平均分的方法来做？
生：因为这四支铅笔，先把这三支铅笔平均分到这三个笔筒里，可以保证每一个笔筒里至少先有一支铅笔，然后再将剩余的这一支铅笔放到其中一个笔筒里，不管放到哪个笔筒里，它都是一个笔筒里有两支铅笔。
师：是一个笔筒里有两支铅笔吗？
生：是。
师：其中一个笔筒里有两支，也就是"总会有那么一个笔筒至少有两支铅笔"。那如果我在这4支铅笔都放到这个笔筒里，那我能说它的"至少"是4只吗？
生：不可以。
师：为什么不可以？
生：因为如果把一支铅笔移到了另一个笔筒里，它就变成3支铅笔。
师：哦，也就说这个笔筒的笔还可能变少。那现在还能少吗？
生：能。
师：那现在还能少吗？
生：不能。
师：那如果我再少的话，这个笔筒还是咱们要找的那个笔筒吗？
生：不是。
师：还是"总有"那个一个笔筒吗？
生：不是。
师：也就是说，我们要让铅笔少到不能再少为止，那我们就找到了正确的"至少数"。这里至少数是几啊？
生：2。
师：总有一个笔筒至少有两支铅笔。好，刚才这位同学用到了平均分的方法，来把掌声送给他！
（生鼓掌）
师：呐，同学们，其实这种平均分的方法，在我们数学上叫做"假设法"。也就说假设每个笔筒先有一支铅笔，那剩下的一支铅笔无论放进哪个笔筒，都能得到两支，总有一个笔筒至少有两只铅笔。而假设法它考虑的是"最不利原则"，也就说如果这种情况都能满足，那其他情况更能满足。那假设法它的核心是什么呢？刚才他提到了什么？
生：平均分。
师：哎，我们平均分的目的是什么呀？
生：让每个笔筒的铅笔的数量尽可能一样。
师：然后才能使最多的这个笔筒的铅笔数--
生：最少。
师：哦，使最多的这个笔筒的铅笔数最少，对吧？
生：对。
师：哎，我们要把它平均分一分，这样每个笔筒都有笔之后，这个最多的铅笔笔筒里铅笔数才能最少。大家能理解吗？
生：能。
师：啊，那既然平均分，那你能用一个算式来表示刚才的摆法吗？哎，那个男生。
生：可以用4÷3=1支……1支。
师：哎，余一只。好，这里的4表示谁的数量？
生：4表示4支铅笔。
师：哎，铅笔的数量。那3呢？
生：3表示3个笔筒。