师：今天我们来学习数学中的找次品。大家先思考一下，什么是次品呢？
生：次品就是一些伪劣的产品，有可能比重轻，也有可能比正品重，是从质量角度来说的。
师：还有不同角度吗？
生：像食品或饮料里面少装或多装，也算次品。
师：没错，一个物品有一定重量标准、质量标准、形状颜色标准等，如果不符合这些标准，就叫次品。老师这里有两个垒球，其中有一个偏重，是次品，还有一架天平，怎么做能找到答案呢？
生：把两个垒球分别放在天平两端，哪一边下沉，哪一边就是次品。
师：对，右边下沉，右边这个就是次品。两个垒球有一个次品，只需要称一次就能找到。那如果老师有三个垒球，还是有一个偏重，你们觉得要称几次？
生1：我觉得还是只称一次。
生2：我也觉得称一次。
生3：我觉得称两次。
生4：我也觉得称两次。
师：有些同学认为称一次，有些同学认为称两次。你们两个认为称两次，那就请你们上台来。你来当天平，你来称，你指挥他放球。
生5：感觉这边更重一点。
师：他称了一次，接下来你想怎么称？
生5：那就再放一个上去，可能就平衡了。
师：他这样称了两次，找到了次品。但有很多同学认为称一次就可以，是吗？
生（齐声）：是。
师：仍旧请你来当天平。同桌，你来称。
生6：如果放上去是平衡的话，那么剩下那一个就是次品；如果不平衡，往下沉的那一边就是次品。
师：她说得对吗？
生（齐声）：对。
师：老师把你们的想法记录下来。天平有可能是平衡的，这时哪个是次品？
生（齐声）：剩下的是次品。
师：还有一种可能，天平会怎么样？
生（齐声）：倾斜。
师：假如是这样，外面是不是还有一个？找到了吧。刚才这个过程，不管平或不平，都只用了一次就找到了次品，这个过程用到了数学中非常重要的思想方法——推理。如果平，剩下的就是次品；如果不平，下沉的那一端是次品。所以不管平或不平，都只需要称一次。这样可以画图表示，也可以用数字记录。一共有三个球，就写3，括号里写分法，横线表示天平，前面两个数字表示天平左右两个托盘放的垒球个数，第三个数表示放在桌面暂时没称的。通过刚才的操作，我们知道这样不管平或不平，都只需要一次就能找到次品。看来三个垒球有一个次品，只需要一次就能找到。那如果研究四个垒球呢？
生（齐声）：四个。
师：齐读题目，四个垒球有一个偏重用天平称，至少称几次能保证找出次品？有想法了吗？可以像这样画画图，也可以用数字记录，把想法记录在学习单探究一中。
（学生记录完）
师：都写完了吗？
生（齐声）：写完了。
师：你们要几次？请这一列同学说说看。
生7：两次。
生8：两次。
生9：两次。
生10：两次。
生11：一到两次。
生12：我一次就行。
师：来，你上来说说。
生12：其实我考虑了两种情况，毕竟摸到哪个球不确定。第一种情况，第一次运气超棒，摸到一个次品，称一次就知道哪个是次品；假设运气不好，第一次摸到两个一样的，就只能把它们放下去，再称一次，所以我觉得一到两次都有可能。
师：他说得有道理吗？
生（齐声）：有道理。
生13：我想补充，题目中说的是要确保几次能摸到，意思是最多只要几次，就一定能摸到这个偏重的垒球。
师：同意他的说法吗？
生（齐声）：同意。
师：我们不仅要考虑至少，还要考虑保证。第一种情况是运气好，要保证找到次品，好像需要两次。这个同学说了两种不同情况，而且让我们关注到题目中的“保证”两个字，非常棒。老师收集到几种称两次的情况，我们一起来看。这位女同学先来。
生14：我先把4个球两两一组分出来，放在天平两端称。因为4个球里肯定有一个是次品，所以肯定有一边会下沉。用下沉那一端的两个球再分开称，第二次称时，下沉的那个球就是次品。
师：同意吗？
生（齐声）：同意。
师：她还用数字记录法记录了一下。我们四个垒球，两个托盘分别放两个，称了第一次，会出现什么情况？
生15：有一边一定下沉，因为四个中肯定有一个是次品。
师：然后呢？
生15：聚焦到下沉的那两个球里。
师：第二次聚焦到两个球里，就写2，天平两端各放一个，这样用了几次？
生（齐声）：两次。
师：掌声送给这个女孩。刚才还有同学也是两次，但方法不太一样，举手示意一下。你来。
生16：我先拿1号球和2号球一起称，发现两个一样重，所以3号球和4号球之间肯定有一个是次品，后来我又拿3号球和4号球一起称。
师：同意吗？
生（齐声）：同意。
师：老师想问，对这个图有什么想补充的吗？
生17：他第一次不一定是平的，也有可能有一端下沉。
师：对，第一次可能平，也可能不平。而且我们第一次称的时候，是不是还有两个球放在外面？可以把这两个球画出来。我们把他的方法记录下来，一共四个球，先是两个托盘分别放一个，剩下两个。刚才有同学说次品可能在哪里？
生18：可能在天平上的两个球里，也可能在外面的两个球里。
师：如果在天平上，可能就找到了。但要保证找到，就要考虑没找到的情况，所以聚焦到两个球里，再称一次就可以，一共需要两次。虽然方法不同，但都用了两次保证找到次品。很多同学用画图方法，现在请把画图方法写成数字记录法，一边写一边说一说你是怎么用两次称出来的。
（学生书写完）
师：刚才我们研究了4个垒球有一个次品，至少需要两次才能保证找到次品。接下来研究几个？
生（齐声）：5个。
师：这次挑战一下，9个垒球。有想法吗？请用数字记录的方法把想法记录下来。
（大部分学生完成）
师：谁能看懂他的方法，帮他介绍一下？后面那个女孩。
生19：他第一次在天平两端各放一个垒球，最快的打算，剩下7个垒球。如果这两个垒球平衡，说明次品在这7个里面。然后再把剩下7个，也是天平两端各放一个垒球，还剩下5个。如果这两个也平衡，次品就在这5个之间。剩下5个垒球，也是按这样操作。我觉得这里应该分成一一一，这样再称一次就行，总共次数就是4次。