师：同学们，课前老师想请大家帮个忙。数学王国乐园门口有两种饮料售卖，一种是圆锥形的，2元一杯；另一种是圆柱形的，5元一杯。老师不知道买哪一杯饮料更划算，你们能给老师一些建议吗？谁来说说？
生：我觉得左边2元一杯的更便宜，因为它价格低。
师：嗯，好，请坐。你的想法呢？
生：我觉得右边的更便宜，因为我感觉它看起来量更多，看上去比左边多多了。
师：是吧，好，请坐。现在老师想采访一下大家，做个调查。认为圆锥形果汁更划算的请举手。好，放下。那剩下的同学，就是认为圆柱形的果汁更划算，对吗？
生：对。
师：那究竟哪一杯果汁才是最划算的呢？其实，这个问题就是求圆柱与圆锥的体积。圆柱的体积我们前面已经学过了，这节课，我们就一起来探究圆锥的体积。在了解这个问题之前，我们首先一起来回忆一下圆柱和圆锥的形成过程。请看，在研究圆锥体积之前，我们先比较一下这两张长方形和直角三角形的纸板，看看它们之间有什么关系。
生：三角形与长方形等底等高，也就是三角形的面积是长方形面积的一半。
师：现在我们把等底等高的长方形和直角三角形分别旋转成圆柱和圆锥，它们之间又有什么关系呢？
生：这个圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等。
师：这个圆锥的体积，会不会也是这个圆柱体积的1/2呢？这个问题交给同学们，小组讨论之后做出选择，也就是圆锥的体积等于与它等底等高圆柱体积的几分之几。好，请小组讨论，讨论之后开始答题。当你完成答题，就请做出选择题。好，选择完的请坐好。表扬完成的小组，完成的请举手。好，4组已经完成了，还有两组请选完，还有一组。好，可以。我们来看看答案。我们发现班里有三种不同的答案，究竟哪一种答案是对的呢？这个问题我们留在这节课探究之后，相信同学们自然就会有答案。那下面我们的任务，就是用实验来探究究竟圆锥的体积会与什么的体积有关。好，请看要求。接下来的小组合作探究，每4人一组，请选择一个圆锥形容器并把它倒满水，然后把圆锥形容器里的水倒入到任意一个圆柱里面，看看需要几次才能把圆柱形容器倒满，通过实验能得出什么结论。请小组长对组员进行分工，实验结束之后，请填写好小组实验单。现在就开始实验，老师给你们4分钟的时间。好，开始。
（一段时间后）
师：完成实验请坐好。好，时间到。老师这里拍了两份报告单，一份是李哲成小组的，他们得出的结果是与圆柱等底等高的圆锥，需要倒3杯才能倒满，于是他们得出一个结论。另外一个是波斯语小组的，他们得出不是等底等高的圆柱与圆锥，需要倒1.5杯才能倒满。请问还有其他不一样的答案吗？
生：呃，我用的是这个和这个做比较。嗯，我用水把这个倒满，然后倒到这里一杯，没有倒满，然后我又继续倒，差不多又用了0.1杯。我的结论是，这个体积是这个体积的1.1倍，然后这个体积是它的1/1.1，等于10/11。
师：嗯，好，请坐，谢谢你。还有不同的答案吗？
生：嗯，我用的是这个和这个，一共需要8杯才能装满。
师：给大家看看，得出这个圆锥需要倒8杯才能够把这个圆柱倒满，是吧？好，请坐。刚刚我们出现了不同的答案，但是我想问问，还有没有小组也出现正好是n杯倒满的？有的请举手。哦，有，这么多小组是出现三杯倒满。我们先请李哲成这个小组来演示一下，你们刚刚是三杯倒满，选的圆柱与圆锥有什么特点？请做好准备，自己给大家讲解。
生：如果是这种三杯的话，就是整体的高，数一数，一杯，两杯，三杯，正好圆柱倒满了。
师：对吗？嗯，好，把水倒回来。告诉大家，你选的这个圆柱与圆锥有什么特征？
生：是等底等高的。
师：嗯，好，请坐。来，我们刚刚还有一组是1.5倍的，是哪一组？也请你们展示一下。
生：呃，我们用的是这两个，这个圆柱和这个圆锥。我们发现它们两个不是等底等高的，所以倒进去的时候，大约是1.5倍的样子。
师：是不是？嗯，好，可以，谢谢。通过刚刚的展示，同学们可能会发现出现多种不同的答案，但是有一种情况很多组都一样，就是很多组出现正好三次可以把圆柱倒满。请找到你们也是正好三次倒满的那一组圆柱和圆锥，举起来看看，这样的圆柱与圆锥在大小上面有什么特征？
生：等底等高。
师：对，这样等底等高的一组圆柱与圆锥，那些大小不一样、没有共性的，我们这节课暂时不研究。那我们现在来思考这个问题，刚刚让大家做实验的等底等高的圆柱与圆锥，会正好三次倒满，那么其他的等底等高的圆柱与圆锥，是不是都会有这个特征呢？老师这里给你们准备了一个视频，我们一起来看看。现在画面上看到的是一组等底等高的圆柱与圆锥，现在我想同时改变圆柱和圆锥的底面积，请看，它们的底面积同时在变化，但是这样的圆柱与圆锥，观察它们的底面积还是相等，它们的高呢，也相等，是等底等高的。我们试试看需要几次才能倒满。好，一次，第二次，请看第三次，正好倒满。刚才我改变的是圆柱和圆锥的底面积，下面我们把它们的高进行变化，这样的圆柱与圆锥，它们的高同时变矮了，但是它们的底面积和高还是相等，是等底等高。大家觉得还是需要几次能倒满？
生：三次。
师：大家都很肯定，我们也看看。好，第一次，第二次，和同学们的猜测一样，还是正好几杯倒满？
生：三杯。
师：正好三杯倒满。那结合我们的视频和刚刚的实验，现在同学们来总结一下，通过实验你得出了什么结论？
生：等底等高的圆柱与圆锥，圆柱的体积是圆锥的3倍。
师：请坐。我们就可以知道，因为三杯正好倒满，于是我们会发现圆柱的体积会是圆锥体积的3倍。这句话可以反过来说吗？
生：圆锥的体积是圆柱的1/3。
师：我们也可以说圆锥的体积会是圆柱体积的1/3。一个圆柱与圆锥，它们的体积都有这个关系吗？
生：不是，必须有一个前提条件。
师：对，我们所研究的是当它们等底等高时，才会满足圆柱的体积会是圆锥体积的3倍。有了这个结论，下面我们就来推一推。我们知道圆柱的体积公式是怎样的？谁还记得？
生：底面积乘高。
师：嗯，底面积乘高，它也可以用字母表示，圆柱体积V等于？
生：Sh。
师：用S表示底面积，用h表示高。那现在我们来看刚刚的结论，圆锥的体积会等于与它等底等高圆柱体积的1/3，而圆柱的体积又可以用底面积乘高来表示，刚刚同学们已经回忆过了，底面积一般通常用字母S表示，高一般用字母h表示。于是圆锥的体积哪位同学来说说，它用字母又可以怎么来表示呢？