师：上课！
生：一、二坐直，起立！老师您好！
师：同学们好，请坐。这节课我们就从温故开始。周长，什么是周长？这位女孩请你说。
生：周长就是一个图形它外围所占的长度。
师：什么图形外围一周的长度？
生：（另一女孩补充）周长是一个封闭图形一周的长度。
师：非常完整，把掌声送给他。对，封闭图形一周的长度就是它的周长。那我们已经知道哪些图形的周长公式呢？这位女孩请你说。
生：我们已经知道了正方形的周长公式，它的周长公式是边长乘4，用字母表示就是c = 4a。
师：我们把它说完整好吗？
生：就是c等于4a。
师：嗯，好，张老师把它书写下来。这是正方形的周长公式。还有吗？这位女孩请你说。
生：我们还学过长方形的周长公式，用字母表示就是c =（a + b）×2。
师：同意吗？
生：同意！
师：哎，我有疑问呢，我们认识了那么多的平面图形，为什么只总结了长方形和正方形的周长公式呢？这位男孩请你说。
生：因为长方形和正方形中都有相同的边，而其他的图形中不一定有。
师：我觉得你这个“不一定”说的非常好。长方形、正方形的边怎么样？
生：有相同的边。
师：对啊，正因为它的边有这样的特征，我们才可以总结出公式，对吧？
生：对！
师：还有吗？这位女孩请你说。
生：还有一个原因是，这两个图形在生活中比较常用。
师：哇，他能联系生活去找原因，我们觉得应该把掌声送给他。对啊，因为在我们的生活中比较常用，所以我们也才有必要去总结出公式，对吧？所以我们来观察这两个周长公式，其实它们的本质都是在体现什么？这位女孩请你说。
生：它们的本质都是在体现边长与周长的倍数关系。
师：哇，你的总结非常到位，请坐。是呀，我们只有找到图形中周长与边的这个倍数关系，再用这样简洁的方式表示出来，就找到了周长公式，对吧？那我们刚认识的曲线图形圆，它有没有这样的周长公式呢？这节课我们就来探究圆的周长。什么是圆的周长呢？我请一位同学上来边比划边说一说。这位男孩请你来，话筒在这。
生：圆的周长就是从这里到这儿，这就是圆一周的长度。
师：这一周什么？
生：线的长度，曲线的长度。
师：非常好，对，围成圆的这条曲线的长就是圆的周长。圆的周长可能和什么有关？这位男孩请你说。
生：圆的周长可能和它的直径与半径有关。
师：为什么呢？
生：因为圆它的大小是由直径和半径决定的，所以我推测它的周长也和半径、直径有关。
师：谁听明白他的意思了？好，你听明白了请你说。
生：因为圆的大小都是由直径和半径决定的，所以说直径和半径就跟它的周长有关，也就是当圆越大的时候，它的周长就越长，和半径有关也就一定和直径有关。
师：所以，我们不妨大胆地猜一猜，圆的周长和直径可能存在怎样的关系呢？好，最后那个男孩请你说。
生：圆的周长和直径可能存在倍数关系。
师：你还有想法吗？为什么呢？
生：因为在我们的一些教材中发现，圆的周长与直径存在比值，那么这个比值它叫做圆周率，叫做π。
师：哦，你是通过阅读发现的对不对？但是有没有实际地去探究呢？所以啊，光有结论还不行，我们还得怎么样啊？
生：去寻找和验证它们的倍数关系。
师：那还有从其他方面，你们都认为是倍数关系吗？你认为呢？这位男孩请你说。
生：我认为也是倍数关系。因为长方形和正方形的边长与周长都有倍数关系，所以我推测圆的周长与直径也有倍数关系。
师：我们回答问题的时候，声音再洪亮一点好吗？
生：我认为圆的周长与直径应该是有倍数关系的，因为长方形它与边长有倍数关系，正方形也一样，所以我推测圆的周长与直径有倍数关系。
师：把掌声送给他。你看，这位男同学是通过阅读知道圆的周长和直径存在倍数关系，而这位男孩是通过前面的旧知推测出来，可能圆的周长和直径也存在倍数关系，所以这是一个比较合理的猜想。那我们怎么去寻找和验证这个倍数关系呢？你有没有什么好的办法？先自己思考思考，再和同桌讨论讨论。好，时间到。看大家讨论得这么热烈，一定有自己的想法了。谁想先来分享？好，那位男孩请你来。
生：我的想法是用一根绳子将一个圆形的纸片绕一圈，再用笔在绳子上做一个标记，最后用直尺测量。
师：这是为了测量什么？只测量就能探究出来吗？谁还有补充？好，男孩请你说，拿话筒。
生：老师，我的补充就是在他那个基础上，咱们可以再用直尺量出那个圆的直径。把直尺的刻度放在圆心上，如果没有圆心的话，咱们可以把直尺慢慢往上推，找出它最长的地方，这就是它的直径。然后咱们再把圆的周长跟直径来做对比，用周长除以直径，就能看出它们到底有没有倍数关系，或者是几倍的关系，对不对？
师：好，请坐。哎，从他们刚才的发言中，你知道先干什么吗？拿话筒。
生：我知道了，就是需要先找一个圆形的纸片，然后再用一根绳子固定住它，然后在直尺上转一圈，然后再量出它的半径或者直径，然后再用周长除以直径，得到的结果就等于它们之间的倍数关系。
师：也就是先要干什么呢？
生：量，再算。
师：好，我把它写到这。我们怎么去测量圆的周长呢？刚才那位男同学其实有提示了，我看谁听得认真。好，女孩请你说。
生：你应该是用一根绳子围着圆绕一圈，然后再测量一下那根绳子绕了多长。
师：嗯，我们一起来看一看。在圆上做记号，确定点A，用绳子从A点出发，绕圆一圈，到A点为止，并在绳子上做记号，把绳子拉直，用直尺测量出这一段的长度，就是圆的周长。女孩，你是这个意思吗？
生：是。
师：好，这样的测量方法，我们把它叫做绕绳法。还有不同的方法吗？好，女孩请你说。
生：我想的方法是，先给圆做一个标记，把这个标记放在尺子的零刻度那里，然后把圆滚动一周，再滚动到标记的地方，然后看一共滚了多少厘米，这就是圆的周长。
师：嗯，会学、会思的孩子，把掌声送给他。我们一起来看一看他的方法。在圆上做记号，确定点A，A点和直尺的零刻度线对齐，让圆在直尺上滚动一周，直到A点回到直尺上为止，这条线段的长就是圆的周长。这样的测量方法，我们把它叫做滚动法。孩子们，请你们观察，无论是绕绳法还是滚动法，它们都有一个共同点，你发现了吗？好，女孩请你说。
生：它们都是让圆滚动起来来测量圆的周长，然后就能测量出这个圆的周长到底是多少。
师：嗯，我们的绕绳法有没有让圆滚动起来？
生：没有。
师：那谁有补充？好，女孩请你说。
生：它们两个方法都必须找到同一个点。
师：嗯，要确定一个点。嗯，还有吗？好，男孩请你说。
生：虽然不是都让圆滚动起来，但是必须要有一个东西动起来，不是圆滚动起来，就是要借助其他东西。
师：对吧？对，那我们这借助没有？借助了什么来测量？
生：借助了尺子。
师：对呀，我们发现这两种方法都借助了什么来测量。可是圆的周长是一条曲线的长度啊，怎么可以用直尺来测量呢？谁有想法？好，男孩请你说。