师：上课！起立！同学们好。
生：老师您好！
师：请坐。同学们，咱们学了6年数学，知道数学常常与数和形打交道，数和形是数学主要的研究对象。今天，我们就一起来研究数与形。雨晴，你来读一下课题。
生：数与形。
师：大家观察这些图形，看看各有多少个小正方形，用数或算式表示出来，写在任务单上。有些同学已经找到了一种或几种表示方法，大家想一想，能不能从不同角度，写出不同的表示方法？把不同表示方法写在下面。这里有三种不同表示方法，第一种大家能看懂吗？
生：能。
师：能看懂就好，简单了解就可以。第二种表示方法，男孩，你来说说。
生：第二种方法是看每个图形边上有几个小正方形。比如第一个图形，边上只有一个小正方形，就是1×1，也就是1的平方；第二个图形每条边有两个小正方形，即2×2 = 2的平方。依此类推，最后一个图形每条边有4个小正方形，就是4×4，也就是4的平方。
师：说得真好！原来他是按这种方式观察的，借助图形边长乘边长，就能算出小正方形的个数。第三种方法有点特殊，谁来给大家讲讲？男孩，拿着话筒来讲。
生：我发现是这样看的。首先第一个图形就是一个小正方形；第二个图形，先算这一块，再算这一块；第三个图形，先算这一块，接着算这一块、这一块。最后我发现，是斜着一层一层算的。
师：感谢我们今天的第一位小老师，他提醒我们可以这样一层一层观察。按照这种思路，这里有几层？同一个图形，观察角度不同，就能写出不同的表示方法。按照这样的规律，大家能想出下一个图形和它对应的乘法、加法算式吗？先思考一会儿。你想到了什么图形？
生：我想到了一个5×5的正方形。
师：很好。你想到了什么算式？女孩，你来说。
生：算式应该是1 + 3 + 5 + 7 + 9。
师：想到了加法算式，还有吗？女孩，你接着说。
生：我还想到了平方算式，就是5的平方。
师：看来同学们都能找到这个图形和它对应的算式。那么，乘法算式和加法算式之间有什么联系呢？同桌之间讨论一下。
生：（讨论交流）
师：好，来说说你们的发现。男孩，旁边那位同学，你来说。
生：我发现每一个图形，它每条边有几个小正方形，结果就是几的平方。比如，第一个图形边长为1，就是1的平方；边长为2的图形，就是2的平方；边长为3的图形，就是3的平方；边长为4的图形，就是4的平方；边长为5的图形，就是5的平方。
师：边长乘边长可以算出小正方形的个数。你的发现很有价值，还有其他发现吗？女孩，你说说。
生：我还发现，加法算式中有几个加数，结果就是几的平方。
师：你能结合具体算式说一说吗？
生：比如说这个由16块小正方形组成的正方形，它的加法算式是1 + 3 + 5 + 7，一共有4个加数，所以它对应的平方算式就是4的平方。
师：请坐。孩子，为什么有4个加数就是4的平方？你能结合图形给大家讲讲吗？男生，你可以到黑板来指着图形讲解。
生：我认为，像这个4×4的正方形，它的加法算式有4个加数，每层加数代表一层。这个1就表示第一层的这1块，3表示第二层的这3块，5表示第三层的这5块，7表示第四层的这7块。它们相加起来，就等于这个4×4正方形的小正方形块数。
师：很会思考。还想发言的同学，就你，男生。
生：其实，我们可以把它看作以前学的平方数。把这些加数全部加起来，再除以它们的个数，结果是4。这里一共有4个数，4×4就等于4的平方。
师：他找到了用中间数乘个数的方法。同学们，刚刚有同学提到，这里有4个加数，就表示边长是4，所以是4的平方。谁再来完整地说一说？拿着话筒直接说。
生：这个图形有第一层、第二层、第三层和第四层，一共有4层，所以就是4的平方。正方形的面积公式是边长乘边长，这个正方形的边长是4，所以它的面积就是4×4，也就是4的平方。
师：很好。孩子，谁能用这幅图来解释一下加法和乘法的联系？男孩，拿着话筒说。
生：就拿这一幅图来说，它有3个加数，所以它的边长就是3。求它小正方形块数的公式就是3×3，也就是3的平方。
师：很好，请坐。结合图形，我们找到了加法和乘法之间的联系。反过来，给你一个数或者一个算式，你还能找到它对应的图形吗？
生：能。
师：口说无凭。看到这个算式，你想到了什么？女孩，你先说。
生：我看到7的平方，想到了一个正方形，它有7层，边长为7，所以它的面积就是7的平方。
师：好，还想到了什么？另一位女生，你说说。
生：我还想到这个正方形一共有7×7 = 49块小正方形，它对应的算式是1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13，从1开始，依次加2，加到第7个奇数为止。
师：也就是说，这个加法算式有7个加数。好，看来算式理解没问题。看到这个数，你又想到了什么？女生，你来。
生：我想到100等于10的平方，那么它对应的加法算式就是10个数相加，从1开始，一直加到第10个奇数，结果等于10的平方。
师：他想到了加法算式。这个加法算式有几个加数？
生：10个。
师：还想到了什么？女孩，接着说。
生：我想到了一个边长为10的大正方形。
师：很好，请坐。看来，像这样的算式都能找到一个图形和它相对应。像这样的算式还有很多，观察这些算式，你有什么发现？四人小组讨论一下。
生：（小组讨论交流）
师：讨论好了吗？来说说你们的发现。男孩，你先说。
生：我发现这些算式都是从1开始，几个连续的奇数相加，而且这种算式的和就是它们加数个数的平方。
师：你们听明白他的意思了吗？谁再来说一说？男生，你来。
生：我发现从第一个式子开始，算式中加数的个数就等于结果的平方数。
师：结合具体算式说一说。
生：比如说1 + 3，它们一共有2个加数，结果就是2的平方。
师：你找到了这个规律。后面那位男同学，你有什么发现？
生：对，我还发现，在每个算式里，从1一直加到末尾的一个数，如果加数个数是奇数，最中间的那个数就是结果的平方根；如果加数个数是偶数，就把第一个数加最后一个数，再除以2，得到的数就是结果的平方根。比如，1 + 3 + 5 + 7 + 9，它有奇数个加数，最中间的数是5；1 + 3，它有偶数个加数，（1 + 3）÷2 = 2。